

Rispondo ad Alberto che chiedeva, in un commento ad un precedente post, dove avessi preso lo sfondo di una foto; in effetti è stato lo sfondo a prendere me. Le cenette filosofiche, rivolte soprattutto ai non filosofi di professione, si svolgono a Palermo il martedì alle 21 ogni quindici giorni. Dalle 20 e 30, per chi vuole, è possibile consumare un frugale pasto. Alle 21 inizia la discussione sulle pagine del libro in quel momento adottato che la volta precedente ci si è prefissati di leggere. Per informazioni si può scrivere a pietrospalla@tele2.it.


Rispondo ad Alberto che chiedeva, in un commento ad un precedente post, dove avessi preso lo sfondo di una foto; in effetti è stato lo sfondo a prendere me. 
La convinzione che si possa fare a meno del significato di enunciati matematici, considerandoli nient'altro che sequenze di simboli in qualche sistema matematico formale, è il punto di vista matematico del formalismo. Qualche persona ama quest'idea, per cui la matematica diventa una sorta di gioco senza significato. Io non la trovo però affatto gradevole. E' infatti il significato -e non un cieco calcolo algoritmico- a dare alla matematica la sua sostanza. Per fortuna, Gödel inflisse al formalismo un colpo devastante!
In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema.
Qualunque sistema formale (consistente) si usi per l'aritmetica, ci sono enunciati della cui verità possiamo renderci conto chiaramente ma ai quali non viene assegnato il valore-di-verità vero dal procedimento proposto dal formalista
... così, riflettendo sul significato del sistema di assiomi e delle regole procedurali, e convincendosi che questi forniscono effettivamente motivi validi per pervenire a verità matematiche, si può essere in grado di codificare questa percezione intuitiva in ulteriori enunciati matematici veri, non deducibili da quegli stessi assiomi e regole...la verità matematica è qualcosa che va al di là del mero formalismo (poiché) nel decidere sulle regole da adottare dobbiamo sempre farci guidare dalla comprensione intuitiva di ciò che è evidentemente vero, dati i significati dei simboli del sistema.
Qualsiasi cosa potrà trovarsi nei suoi ciechi volumi. La dettagliata storia del futuro. Gli Egiziani di Eschilo. L’esatto numero di volte in cui il volo di un falcone si è riflesso nelle acque del Gange. La segreta e vera natura di Roma, l’enciclopedia che Novalis avrebbe voluto redarre, i miei sogni e le mie dormiveglie all’alba del 14 agosto 1934, la prova del teorema di Fermat, i capitoli non scritti dell’Edwin Drood di Dickens, gli stessi capitoli tradotti nel linguaggio dei Garamantes, i paradossi che Berkeley ideò a proposito del tempo, ma che non pubblicò, il libro d’acciaio di Urizen, le premature epifanie di Stephen Dedalus, che potrebbero essere incomprensibili prima che passino mille anni. Il vangelo gnostico di Basilide, le canzoni che intonano le sirene. Il completo catalogo della Biblioteca, la prova della non accuratezza del catalogo stesso. Qualsiasi cosa: ma per ogni riga dotata di senso o per ogni fatto accurato ci saranno milioni di cacofonie insignificanti, di tiritere e balbettamenti. Qualsiasi cosa: ma tutte le generazioni dell’umanità potrebbero trascorrere prima che i suoi scaffali – scaffali che obliterano il giorno, scaffali abitati dal caos – la ricompensino con una pagina tollerabile.
Ben presto, in questa biblioteca di babele, la segnatura dell’opera, il suo codice di catalogo, diventerebbe più lungo dell’opera stessa….
“Non posso che meravigliarmi che ci sia qualcuno che davvero si persuade che atomi fatti di materia che si muovono per forza di gravità possono costruire questo mondo meraviglioso ed elaborato a forza di collisioni fortuite. Se credono questo, perché non credere anche che se innumerevoli copie delle lettere dell’alfabeto vengono mescolate e poi gettate come si fa con i dadi, esse comporranno l’intero testo degli Annali di Ennio. Io dubito che la fortuna ne faccia venir fuori anche un solo verso!”.
Approfitto dell’ospitalità incautamente accordatami (finalmente posso sistemare i miei appunti da qualche parte) per discettare su un argomento su cui rimuginavo dai tempi di Arquata, ma anche prima, perché è venuto fuori per la prima volta mi pare quando abbiamo letto il libro di Orlando Franceschelli sull’evoluzione. Si tratta delle famose scimmie che battono a casaccio su una tastiera e ne traggono i capolavori della letteratura, prima o poi. Metafora del caso creatore e ordinatore. Sarò prolisso e noioso. Prevedo varie puntate.
Enunciazione del teorema delle scimmie infinite
Una scimmia che batta a caso sulla tastiera di una macchina da scrivere per un tempo virtualmente infinito (quasi) sicuramente produrrà un particolare testo scelto, ad esempio un’opera di Shakespeare, l’Amleto. In tale contesto ‘quasi sicuramente’ è un termine matematico con un preciso significato (probabilità appunto matematica) e ‘scimmia’ è una metafora per una macchina teorica che produce una sequenza casuale di lettere ad infinitum.
Discussione
Ignorando punteggiatura, spaziatura e maiuscole, una scimmia che batta a caso ha una probabilità su 26 (numero dei tasti dell’ipotetica macchina da scrivere) di scrivere la prima lettera dell’Amleto e una su 676 di scrivere le prime due (26x26). Poiché la probabilità diminuisce in maniera esponenziale con l’aumentare delle lettere da scrivere, a 20 lettere la chance è 2620, vicina a quella di comprare quattro biglietti della lotteria consecutivamente e vincere ogni volta il primo premio. Nel caso dell’intero testo la probabilità è così incredibilmente piccola che molto a stento può essere concepita in termini umani. Posto che il testo è composto da circa 130.000 lettere, esiste una probabilità su 3.4x10183946 di ottenere l’Amleto al primo tentativo. Il numero medio di battiture che occorre effettuare prima che il testo abbia una possibilità (statistica) di apparire è lo stesso. Per avere un termine di paragone esistono solo 1079 atomi nell’universo conosciuto e 1080 elettroni, mentre sarebbero trascorsi 1021 minuti dal supposto Big Bang (circa 14 miliardi di anni). A cento parole al minuto occorrono 1040.000 minuti per avere una probabilità di ottenere ‘per caso’ la nostra sudata copia dell’Amleto. Anche se avessimo a disposizione un’armata cosmica di scimmie, una per ogni elettrone dell’universo al lavoro dall’inizio dei tempi, la probabilità di riuscire sarebbe ancora solo una su 10183800.
Si, ma le scimmie sono lente, cento parole al minuto, bazzecole: e se le sostituissimo con un computer molto molto potente? Le sfide vanno prese sul serio. Andiamo al bersaglio grosso: prendiamo un computer delle dimensioni dell’universo stesso, con tutta la sua materia e la sua energia al servizio della computazione, e facciamolo più veloce che si può: la sua capacità può essere calcolata in base a leggi abbastanza collaudate.
Prima di ogni cosa, l’energia e la velocità stanno in preciso rapporto. L’ammontare di energia nell’universo visibile può essere definita accuratamente. La maggior parte di essa è imprigionata nella massa degli atomi. Se contiamo gli atomi di tutte le stelle e le galassie, e ci aggiungiamo la materia delle nubi interstellari, troviamo che la densità di materia dell’universo equivale a un atomo di idrogeno per metro cubo.
Esistono poi altre forme di energia: quella della luce per esempio. La velocità di rotazione delle galassie suggerisce l’esistenza di ulteriori e invisibili fonti di energia; si parla inoltre di una ‘quintessenza’ legata all’anomala velocità di espansione dell’universo, e di altre forme ancora più bizzarramente denominate (machos, wimp, winos).
L’ammontare totale dell’energia in queste forme esotiche si calcola, un po'a spanne, come dieci volte superiore a quella standard contenuta nella materia direttamente osservabile. Naturalmente, ogni atomo contribuisce secondo la formula E = mc 2. Da questo conteggio ricaviamo che l’energia dell’intero universo ammonta a 1071 joules. Per ottenere la massima velocità di calcolo che questo computer cosmologico può sviluppare si applica il teorema di Margolus- Levitin: (energia x 4): costante di Planck (h = 6,626068 x 10–34 joule-sec, un numero piccolissimo che regola gli eventi quantistici).
Conclusione provvisoria
Ne risulta che ogni secondo un computer che usa tutta l’energia e la materia dell’universo compie 10105 operazioni. In 14 miliardi di anni, ne ha fatte 10122
Per scrivere casualmente l’Amleto occorrono 3.4x10183946 operazioni. Se assegniamo al nostro universo una vita di 30 miliardi di anni, il cosmo-computer dovrà funzionare per biliardi di miliardi di miliardi di cicli cosmici, (e speriamo che non vada mai in crash…) prima di poter mostrare se la probabilità matematica assunta inizialmente si è tradotta o meno in realtà. E già: tutto questo ambaradan è senza certezza alcuna di riuscita. Non esiste qualcosa come una probabilità certa.
Se poi questi cicli cosmici sono in qualche modo ricorsivi, se essi presentano elementi di ripetizione e correlazione, se insomma il mito dell’eterno ritorno non è solo un mito, se non si dà una stringa casuale infinita come un fiume eterno mai uguale a se stesso, ma la reiterazione di stringhe finite, alla scimmia verrà negata anche quella probabilità abissale rimasta e potrà solo comporre, tra un eone e l’altro, solo qualche verso, magari sempre gli stessi. L’esperienza accumulata con i generatori di numeri causali indica che questa possibilità (seriazione, prevedibilità) non è remota come sembra.
Morale della favola, se vogliamo fare i seri: l’universo immaginato come una macchina generatrice di eventi casuali è incapace di elaborare in uscita una stringa complessa fornita come chiave della computazione in un tempo finito, anche se molto grande (ciclo cosmico) e può solo rinviare la resa dei conti su un piano (super ciclico, super cosmico) inattingibile dai mezzi di cui la ragion scientifica dispone e dai quadri concettuali che si è data, che non permettono oggi di andare oltre la nascita (e la morte) dell’universo quale singolarità irripetibile e inspiegabile, e quindi di pensare un altro o altri cicli cosmici, e tantomeno le possibili connessioni tra di essi.
Il limite della computazione, già indicato da Roger Penrose sul raffinato versante algoritmico, si dimostrerebbe qui anche nella rozza prospettiva del rimescolamento ‘brute-force’.
Pausa. Questo gioco che sembra (ed è anche) una stupidaggine appartiene alla schiera dei giochi mentali ‘come se’ così tipici ai nostri giorni: comportiamoci come se l’universo fosse una macchina o come se una scimmia fosse l’universo, come se l’eternità fosse calcolabile o un poeta simulabile.
Oggi non si danno più giochi di scena, di sfida, di specchio, giochi duali. Ma giochi estatici e solitari, in cui il piacere non è più estetico e scenico, ma aleatorio, psicotropico, dalla fascinazione pura: giochi di vertigine.Questo l’ha pensato Roger Caillois.
continua...